พาราโบลา

พาราโบลา (parab
ola)
จุดประสงค์การเรียนรู้เรื่องพาราโบลา
จุดประสงค์การเรียนรู้สำหรับเรื่องนี้ มุ่งให้ผู้เรียนสามารถ
1. บอกนิยามของพาราโบลา2. หาโฟกัส จุดยอดและสมการไดเรกตริกซ์ พร้อมทั้งบอกลักษณะของกราฟเมื่อกำหนดสมการของพาราโบลาให้3. หาสมการของพาราโบลา เมื่อกำหนดเงื่อนไขต่างๆ ให้4. เขียนกราฟของพาโบลา จากสิ่งที่กำหนดให้นำความรู้เรื่องพาราโบลาไปใช้แก้ปัญหาที่กำหนดให้ได้


พาราโบลา
ในตอนแรก ให้นักเรียนสังเกตุการสร้างพาราโบลาจากภาพเคลื่อนไหวข้างล่างนี้
จากรูปจะได้ความสัมพันธ์จุดแต่ละจุดอยู่ห่างจากเส้นตรง l และจุดที่กำหนดให้เป็นระยะทางเท่ากันคือAM = MFBL = LFVK = KFDJ = JFEI = IFเมื่อเขียนจุดทั้งหมดในระนาบ จะได้กราฟที่เรียกว่า พาราโบลา


บทนิยาม : พาราโบลาคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากับเสมอ

ส่วนประกอบของพาราโบลา- เส้นคงที่ เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา- จุดคงที่ (F) เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา - แกนของพาราโบลา คือเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์- จุดยอด (V) คือจุดยอดที่พาราโบ-ลาตัดกับแกนของพาราโบลา- เลตัสเรกตัม (AB) คือส่วนของเส้น ตรงที่ผ่านโฟกัส และ มีจุดปลายทั้ง สองอยู่บนพาราโบลา และตั้งฉากกับ แกนของพาราโบลา- เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา

พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0)สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด อยู่ที่ (0,0) แกนของพาราโบลา คือแกน x หรือ แกน y ซึ่งสามารถ แบ่งออกได้เป็น 4 ลักษณะ ดังนี้ก. แกนของพาราโบลาคือแกน x และ โฟกัสอยู่ที่ (c,o) เมื่อ c > oไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดขวา
ให้ P(x,y) เป็นจุดใดๆ บนพาราโบลาPR = PQ= x2 - 2cx + c2 + y2 = x2 - 2cx + c2y2 = 4cx เมื่อ c > 0
ข. แกนของพาราโบลาคือแกน x และโฟกัสอยู่ที่ (c,0) เมื่อ c < 0ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดซ้าย
ใช้วิธีการเดียวกับ ข้อ ก. จะได้สมการของพาราโบลา y2 = 4cx เมื่อ c < 0จากรูปที่ 2 เรียก AB ว่า เลตัสเรกตัมของพาราโบลา เราสามารถคำนวณหา AB ได้ ซึ่งก็คือ ความกว้างของ พาราโบลา ที่โฟกัส
สมมุติให้ พิกัดของ A คือ (x,c) ดังนั้นx2 = 4 c cx2 = 4 c2 ดังนั้น x = 2c (เพราะว่า x> 0)แสดงว่า AF = 2cเพราะฉะนั้น AB = 2 AF = 4cนั้นคือ ความยาวของลาตัสเรกตัม = 4c = 4 c หน่วยโดยทั่วไป สำหรับพาราโบลา ในลักษณะอื่นๆ เราสามารถแสดงได้ว่าความยาวของลาตัสเรกตัม (L.S.) = 4 c หน่วย
ตัวอย่าง 1-3
ค. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,2) เมื่อ c > 0ไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะหงาย
มีสมการ x2 = 4cy เมื่อ c > 0
สมมุติให้ P(x,y) เป็นจุดๆบนพาราโบลา จากนิยาม PF = PQ= x2 + y2 - 2cy + c2 = y2 + 2cy + c2x2 = 4cy เมื่อ c > 0
ง. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,c) เมื่อ c < 0ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะคว่ำ
ด้วยวิธีเดียวกับข้อ ค. จะได้สมการพาราโบลาx2 = 4cy เมื่อ c < 0

ตัวอย่าง 4-6

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ (0,0)
การหาสมการของพาราโบลาที่จุดยอดที่จุด (h,k) และมีแกนขนานกับ แกน x หรือแกน y1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x
รูปที่ 1 แสดงพาราโบลาเมื่อ c > 0ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h,k)โฟกัส อยู่ที่ (h + c,k)ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง ที่ x = h - cย้ายแกน ให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k)ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ cหน่วยดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ(y')2 = 4cx'แต่ถ้าพิกัดของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ (x,y) จะได้ว่าy' = y - k และ x' = x - hดังนั้น สมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ
(y - k)2 = 4c(x - h)
เมื่อ c > 0
รูปที่ 2 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับ ข้อ 1 สมการของพาราโบลาคือ
(y - k)2 = 4c(x - h)
เมื่อ c < 0
จากสมการ (y - k)2 = 4c(x - h)กระจายได้ y2 - 2ky + k2 = 4cx - 4chy2 - 2ky + - 4cx + k2 + 4ch = 0เมื่อ A = -2k , B = -4c , C = k2 + 4chจะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0
จะได้ สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับ แกน x จะได้ สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป
y2 + Ay + Bx + C = 0
เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

ตัวอย่าง 7-8

2.เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y
รูป 3 แสดงพาราโบลา เมื่อ c > 0ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h , k)โฟกัสอยู่ที่ (h , k + c) ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง y = k - cย้ายแกนให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ ฝcฝหน่วยดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ(x')2 = 4cy'แต่ถ้าพิกัด ของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิม คือ (x,y) จะได้ว่าx' = x - h และ y' = y - kดังนั้นสมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ
(x - h)2 = 4c(y - k)
เมื่อ c > 0
รูป 4 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับข้อ 2 สมการของพาราโบลา คือ
(x - h)2 = 4c(y - k) เมื่อ c < 0
เมื่อ c < 0
จากสมการ (x - h)2 = 4c(y - k)กระจายได้ x2 - 2hx + h2 = 4cy - 4ckx2 - 2hx - 4cy + h2 + 4ck = 0เมื่อ A = -2k , B = -4c , c = h2+ 4ckจะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0 เมื่อดังนั้น สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับแกน y จะได้สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป
y2 + Ay + Bx + C = 0
เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

ตัวอย่าง 9-10

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,k)
ข้อสังเกต
1. การดูลักษณะของพาราโบลา ว่าจะหงาย คว่ำ เปิดด้านขวา หรือด้านซ้าย ให้ดูแกนของพาราโบลา และเครื่องหมายของ c 2. การดูแกนของพาราโบลา ให้ดูตัวแปรในสมการว่าตัวแปรใดมีกำลังสูงสุดเท่ากับหนึ่ง แกนของพาราโบลา จะขนานกับแกนพิกัดของ ตัวแปรนั้น เช่น (x-h)2 = 4c(y-k) จะมีแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y เป็นต้น3. c = c = ระยะห่างระหว่าง จุดยอดและโฟกัส = ระยะห่างระหว่างจุดยอดและไดเรกตริกซ์4. การหาพิกัดของโฟกัสและสมการไดเรกตริกซ์ เพียงแต่ใช้จุดยอด และ c เป็นหลักในการหาก็เพียงพอ